补码的前世今生
计算机如何来保存负数呢？其实只要达到这样的目的：正数负数都有一个唯一标识即可，但是，正如人类用+1和-1来表示可以提高效率一样，也得有一个比较适当的适合我们的计算机识别的一个方式。下面来详细讲解。
问题的由来
下面为了表示方便，先假设存储一个整型数字用4个bit。
举例来说，+2在计算机中表示为二进制的0010，那么-2怎么表示呢？
很容易想到，可以将一个二进制位（bit）专门规定为符号位，它等于0时就表示正数，等于1时就表示负数。比如，在8位机中，规定每个字节的最高位为符号位。那么，+2就是0010，而-8则是1010。
更多的例子如下：
这就是直接用原码的方式来存储，虽然说这种方式理论上是可行的，毕竟每个数我都唯一标识了。
但是这种方式存在问题，我们希望+1和-1相加为0，但是通过这个方式算出来的是：0001+1001=1010 (-2)。也就是说，按照正常一步头的方式得不到我们想要的结果。
为了解决了“正负相加等于0”的问题，人们发明了反码。
反码
“反码”表示方式是用来处理负数的，符号位置不变，其余位置相反。
此时，我们再来算一下+1和-1相加，变成了0001+1110=1111，刚好反码表示方式中，1111象征-0。
此时，好像是解决了这个问题，但是我们发现，0这个时候有了两种表达：0000和1111。
即在用反码表示的情况下，0竟然可以用两个值来表示，这显然不好吧。毕竟+0和-0就是同一个玩意啊。
这个时候补码闪亮登场。
补码
很简单，在刚才反码的基础上加1。
此时，我们这里假定整形只有4位。那么-0表示为1111+1=10000，显然溢出了，就需要丢弃最高位，变成0000.
此时，神奇地发现，达到了统一，+0和-0都是用0000来表示了。
此时，也满足正负数相加为0的条件。比如+2为0010，-2为1110.此时两者相加为：0010+1110=(0)0000，丢掉最高位就是0000
那么对于普通情况，比如7+(-4)呢?即0111+1100=0011，就是3。OK，大功告成。
补码怎么求
上面已经说的很详细啦，比如-4，就是在4(0100)的基础上取反(1011)再加一(1100).
上面也解释了为什么要用补码。即保证了对称的正负数相加为0并且0只有一种表示方式。
还有一个重要的点就是，我们注意到，7-4其实我们都是转换成7+(-4)，也就是说，在计算机中，减法都是用加法的逻辑实现的。
即：一套加法的电路实现加减法。此外，乘法和除法其实都是加法这套电路实现的。
补码的本质
这里假设存储一个整型用8个bit。
要将正数转成对应的负数，其实只要用0减去这个数就可以了。比如，-8其实就是0-8。
则8的二进制是00001000，-8就可以用下面的式子求出：
1 | ００００００００ |
因为00000000（被减数）小于0000100（减数），所以不够减。请回忆一下小学算术，如果被减数的某一位小于减数，我们怎么办？很简单，问上一位借1就可以了。
所以，0000000也问上一位借了1，也就是说，被减数其实是100000000，算式也就改写成：
1 | １００００００００ |
进一步观察，可以发现100000000 = 11111111 + 1，所以上面的式子可以拆成两个：
1 | １１１１１１１１ |
通过这一步，我们就从数学上知道了为什么补码是取反加一了。
你看，求任何一个负数，都是0-正数，那么就用借位的思想来，则变成100000000。
100000000则可以分解为11111111+00000001。
此时求负数的过程就就变成11111111-X+1
- 而先用11111111来减这个正数，这个结果就是对正数取反。
- 此时再加上另外一个1.
这与我们求补码的过程是一样的，这也解释了为什么要这样求补码。
证明(可不看)
将上面的特例抽象一下，用统一表达式来证明一下。
我们要证明的是，X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的补码完成。
Y的补码等于(11111111-Y)+1。所以，X加上Y补码，就等于：
1 | X + (11111111-Y) + 1 |
我们假定这个算式的结果等于Z，即
1 | Z = X + (11111111-Y) + 1 |
接下来，分成两种情况讨论。
- 第一种情况，如果X小于Y，那么Z是一个负数。
由Y的补码等于(11111111-Y)+1，标记为F=(11111111-Y)+1,那么如何根据F逆向求Y呢？
1 | Y=1111111-(F-1) |
OK,因为此时Z是一个负数，那么Z进行补码的逆运算就可以求出它的绝对值，即正数。再加一个符号，两者相等。
1 | Z = -[11111111-(Z-1)] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1-1)] = X - Y |
- 第二种情况，如果X大于Y
这意味着Z肯定大于11111111，但是我们规定了这是8位机，最高的第9位是溢出位，必须被舍去，这相当于减去100000000。所以，
1 | Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y |
这就证明了，在正常的加法规则下，可以利用2的补码得到正数与负数相加的正确结果。换言之，计算机只要部署加法电路和补码电路，就可以完成所有整数的加法。
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