剑指offer第三十一题。

题目描述

求出1 ~ 13的整数中1出现的次数,并算出100 ~ 1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1 ~ 13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

解题思路

一种比较简单的实现方式是：

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public class Solution {
    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        int count = 0;
        while(n > 0){
            int tmp = n;
            while(tmp > 0){
                if(tmp % 10 == 1){
                    count++;
                }
                tmp /= 10;
            }
            n--;
        }
        return count;
    }
}

从1到n遍历，每次通过对10求余数判断整数的个位数字是不是1，大于10的除以10之后再判断。我们对每个数字都要做除法和求余运算以求出该数字中1出现的次数。如果输入数字n，n有O(logn)位，我们需要判断每一位是不是1，那么时间复杂度为O(n*logn)。

还有一种方法可以实现O(logn)的时间复杂度。有点难。。。先记录在这里：

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public class Solution {
    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        int ones = 0;
        for (long m = 1; m <= n; m *= 10)
            ones += (n/m + 8) / 10 * m + (n/m % 10 == 1 ? n%m + 1 : 0);
        return ones;
    }
}

主题思想大概如下：

设N = abcde ,其中abcde分别为十进制中各位上的数字。

如果要计算百位上1出现的次数，它要受到3方面的影响：百位上的数字，百位以下（低位）的数字，百位以上（高位）的数字。

① 如果百位上数字为0，百位上可能出现1的次数由更高位决定。比如：12013，则可以知道百位出现1的情况可能是：100 ~ 199，1100 ~ 1199,2100 ~ 2199，，…，11100 ~ 11199，一共1200个。可以看出是由更高位数字（12）决定，并且等于更高位数字（12）乘以 当前位数（100）。

② 如果百位上数字为1，百位上可能出现1的次数不仅受更高位影响还受低位影响。比如：12113，则可以知道百位受高位影响出现的情况是：100~199，1100 ~ 1199,2100 ~ 2199，，…，11100 ~ 11199，一共1200个。和上面情况一样，并且等于更高位数字（12）乘以 当前位数（100）。但同时它还受低位影响，百位出现1的情况是：12100 ~ 12113,一共114个，等于低位数字（113）+1。

③ 如果百位上数字大于1（2~9），则百位上出现1的情况仅由更高位决定，比如12213，则百位出现1的情况是：100 ~ 199,1100 ~ 1199，2100 ~ 2199，…，11100 ~ 11199,12100 ~ 12199,一共有1300个，并且等于更高位数字+1（12+1）乘以当前位数（100）。

这篇文章值得一看。